Qu'est-ce qu'une matrice ?

Définition

Une matrice est un tableau composé de coefficients (arrangés en lignes et en colonnes) représentés entre une paire de parenthèses. On utilise généralement une lettre majuscule pour noter une matrice et la même lettre, mais en minuscule pour ses coefficients.

A = \begin{pmatrix}a_{1, 1} & a_{1, 2} & a_{1, 3} & a_{1, 4}\\a_{2, 1} & a_{2, 2} & a_{2, 3} & a_{2, 4}\\a_{3, 1} & a_{3, 2} & a_{3, 3} & a_{3, 4}\end{pmatrix}

Cette matrice notée A possède 12 coefficients, dont a_{1, 3}.

Il est possible que dans certaines notations, les parenthèses de la matrice se voient remplacées par des crochets. Il ne s'agit que d'un changement esthétique.

Dimension d'une matrice

On dit qu'une matrice est de dimension (ou de taille) n \times pn correspond à son nombre de lignes et p à son nombre de colonnes.

E = \begin{pmatrix}6 & 11 & 19 & 12\\23 & 16 & 3 & 19\\7 & 2 & 15 & 3\end{pmatrix}

Cette matrice est de taille 3 \times 4.

Le premier chiffre correspond toujours au nombre de lignes, et le second, toujours au nombre de colonnes.

Les matrices particulières

Matrice ligne

Aussi appelé vecteur ligne, il s'agit d'une matrice ne possédant qu'une ligne.

E = \begin{pmatrix}6 & 11 & 19 & 12\end{pmatrix}

Matrice colonne

Comme on peut s'y attendre après avoir lu la section précédente, la matrice colonne ou vecteur colonne est une matrice qui ne possède qu'une colonne.

E = \begin{pmatrix}6\\23\\7\end{pmatrix}

Matrice nulle

Une matrice ne contenant que des zéros est appelée matrice nulle.

On note ces matrices 0_{n, p} avec n le nombre de lignes et p le nombre de colonnes.

0_{3, 4} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

0_{2, 3} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}

Matrice carrée

Une matrice ayant autant de lignes que de colonnes est appelé matrice carrée.

A = \begin{pmatrix}19 & 11 & 5 & 12\\4 & 8 & 22 & 7\\17 & 16 & 21 & 14\\23 & 6 & 15 & 10\end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix}6 & 14 & 1\\2 & 24 & 8\\12 & 9 & 25\end{pmatrix}

Matrice triangulaire

Une matrice carrée ayant tous ses coefficients différents de zéro uniquement sur sa diagonale et au-dessus est appelé matrice triangulaire supérieure.

A = \begin{pmatrix}6 & 15 & 22\\0 & 19 & 11\\0 & 0 & 25\end{pmatrix}

De la même manière, une matrice carrée ayant tous ses coefficients différents de zéro sur sa diagonale et en dessous est appelé matrice triangulaire inférieure.

B = \begin{pmatrix}6 & 0 & 0\\15 & 19 & 0\\22 & 11 & 25\end{pmatrix}

Matrice diagonale

Une matrice carrée ayant tous ses coefficients différents de zéro exclusivement sur sa diagonale est appelé matrice diagonale. Une telle matrice est également triangulaire inférieure et supérieure.

A = \begin{pmatrix}25 & 0 & 0\\0 & 16 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix}23 & 0\\0 & 21\end{pmatrix}

Matrice identité

Une matrice diagonale ayant tous ses coefficients à 1 est appelé matrice identité.

I_3 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}

I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}

Opérations sur les matrices

Égalité

Deux matrices sont égales si elles ont la même taille et qu'elles possèdent les mêmes coefficients aux mêmes emplacements.

Trace

La trace d'une matrice carrée est la somme de ses coefficients diagonaux. On note Tr(A) cette opération appliquée sur la matrice A.

E = \begin{pmatrix}19 & 11 & 5 & 12\\4 & 8 & 22 & 7\\17 & 16 & 21 & 14\\23 & 6 & 15 & 10\end{pmatrix}

Tr(E) = 19 + 8 + 21 + 10 = 58

Transposition

La transposition d'une matrice est une opération qui consiste à échanger les lignes et les colonnes. La matrice résultante de cette opération est appelée matrice transposée.

On note la matrice transposée en ajoutant un T majuscule en exposant à la matrice avant transposition.

E = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\end{pmatrix}

E^T = \begin{pmatrix}1 & 4\\2 & 5\\3 & 6\end{pmatrix}

La transposée d'une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire inférieure et vice-versa.

Addition

Pour additionner deux matrices, il faut d'abord veiller à ce qu'elles soient de la même taille, sinon l'opération n'est pas possible.

On ajoute ensuite aux coefficients de la matrice de gauche, les coefficients situés aux mêmes emplacements dans la matrice de droite.

A = \begin{pmatrix}9 & 1 & 4\\5 & 7 & 1\\7 & 5 & 6\\4 & 9 & 1\end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix}9 & 2 & 9\\9 & 6 & 10\\2 & 7 & 7\\9 & 9 & 2\end{pmatrix}

A + B = \begin{pmatrix}9 + 9 & 1 + 2 & 4 + 9\\5 + 9 & 7 + 6 & 1 + 10\\7 + 2 & 5 + 7 & 6 + 7\\4 + 9 & 9 + 9 & 1 + 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}18 & 3 & 13\\14 & 13 & 11\\9 & 12 & 13\\13 & 18 & 3\end{pmatrix}

Soustraction

De la même manière, pour soustraire une matrice à une autre, il faut que les deux soient de la même taille.

On retranche ensuite aux coefficients de la matrice de gauche, les coefficients situés aux mêmes emplacements dans la matrice de droite.

A = \begin{pmatrix}9 & 1 & 4\\5 & 7 & 1\\7 & 5 & 6\\4 & 9 & 1\end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix}9 & 2 & 9\\9 & 6 & 10\\2 & 7 & 7\\9 & 9 & 2\end{pmatrix}

A - B = \begin{pmatrix}9 - 9 & 1 - 2 & 4 - 9\\5 - 9 & 7 - 6 & 1 - 10\\7 - 2 & 5 - 7 & 6 - 7\\4 - 9 & 9 - 9 & 1 - 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -1 & -5\\-4 & 1 & -9\\5 & -2 & -1\\-5 & 0 & -1\end{pmatrix}

Multiplication

Multiplier une matrice par un réel

Pour multiplier une matrice par un nombre réel, on multiplie simplement chaque coefficient de cette matrice par ce nombre. 

A = \begin{pmatrix}9 & 1 & 4\\5 & 7 & 1\\7 & 5 & 6\\4 & 9 & 1\end{pmatrix}

3 \times A = \begin{pmatrix}3 \times 9 & 3 \times 2 & 3 \times 9\\3 \times 9 & 3 \times 6 & 3 \times 10\\3 \times 2 & 3 \times 7 & 3 \times 7\\3 \times 9 & 3 \times 9 & 3 \times 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}27 & 3 & 12\\15 & 21 & 3\\21 & 15 & 18\\12 & 27 & 3\end{pmatrix}

Multiplier deux matrices

Il existe plusieurs méthodes pour multiplier deux matrices ensembles, sans autre précision, on appliquera le produit matriciel usuel.

Étape 1 : vérifier la taille des matrices

Le produit matriciel usuel possède une contrainte : il faut que la matrice de gauche ait un nombre de colonnes égal au nombre de lignes de celle de droite. Si cette contrainte n'est pas respectée, le produit n'est pas possible.

Étape 2 : identifier la taille de la matrice résultante

On peut identifier par avance la taille de la matrice résultante, celle-ci aura le même nombre de lignes que la matrice de gauche et le même nombre de colonnes que la matrice de droite.

Étape 3 : trouver les coefficients de la matrice résultante

Pour calculer chaque coefficient de la matrice résultante, il faut prendre le premier coefficient associé à la ligne dans la matrice de gauche et le multiplier avec le premier coefficient associé à la colonne de la matrice de droite, puis faire de même avec le second coefficient, et ainsi de suite. On fait ensuite la somme de ces différentes multiplications pour obtenir le coefficient à placer dans la matrice résultante.

Illustration du produit matriciel usuel
A \times B (Licence)

Il est important de noter que cette opération n'est pas commutative, c'est-à-dire que A \times B peut ne pas donner le même résultat que B \times A. Il y a cependant quelques exceptions, par exemple, le produit entre deux matrices diagonales est toujours commutatif.

Puissance

L'opération de puissance ne s'applique qu'à des matrices carrées. Une matrice carrée à la puissance n consiste à faire n produits matriciels successifs.

E^4 = E \times E \times E \times E

Inverse d'une matrice

Définition

Une matrice carrée A est dite inversible lorsqu'il existe une matrice B de même taille qui respecte l'égalité A \times B = B \times A = I. Si tel est le cas, la matrice B est appelée matrice inverse, on la note A^{-1}.

On peut en déduire que (A^{-1})^{-1} = A.

Inversion d'une matrice

Matrice diagonale

Une matrice diagonale est inversible uniquement lorsque tous ses coefficients sont non nuls. Pour obtenir la matrice inverse dans ce cas précis, il suffit d'inverser tous les coefficients qui se trouvent sur la diagonale.

Matrice 2 \times 2

A = \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix}d & -b\\-c & a\end{pmatrix}

Matrice 3 \times 3

A = \begin{pmatrix}a & b & c\\d & e & f\\g & h & i\end{pmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{aei + bfg + cdh - ceg - fha - ibd} \begin{pmatrix}ei - fh & ch - bi & bf - ce\\fg - di & ai - cg & cd - af\\dh - eg & bg - ah & ae - bd\end{pmatrix}